Geometri fano dan Young

KATA PENGANTAR

Makalah ini kami susun untuk memenuhi kebutuhan tugas kelompok pada mata kuliah geometri euclid. Sesuai dengan maksud tersebut kami berupaya menyajikan makalah ini dengan sebaik-baiknya agar mencapai nilai yang maksimal.

Isi makalah ini memaparkan tentang sistem aksiomatik, geometri incidence, teorema fano dan teorema young yang secara singkat dan sederhana.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak terdapat kekurangan. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca.
assekk  :) hahha

1.      GEOMETRI FANO DAN YOUNG

1.1.GEOMETRI FANO

          Inisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari Gino Fano. Pada tahun 1892, Fano menemukan geomtri finite tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis, dan 15 bidang. Satu dari bidang – bidang tersebut adalah geometri Fano. Sebagai undefined term ditetapkan titik, garis, dan relasi “pada”. Aksioma – aksiomanya adalah sebagai berikut.

Aksioma -1   :terdapat minimal satu garis

Aksioma -2   :terdapat tepat tiga titik pada setiap garis

Aksioma -3   :tidak semua titik segaris

Aksioma -4   :terdapat tepat satu garis pada sembarang dua titik berbeda

Aksioma -5   :terdapat minimal satu titik pada sembarang dua garis berbeda

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano

                       

 

                                        A     A         A         B         C         C         E

                                        B      G         E          G         G         F          B

                                        C      F          D         D         E          D         F

                                        I₁      I₂         I₃         I₄         I₅         I₆         I₇

Dari aksioma – aksioma dan undefined terms diturunkan teorema – teorema berikut ini.

TEOREMA  ke-1 Fano

                                         

                                         Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu

Bukti:

Menurut aksioma ke-5 terdapat minimal satu titik pada sembarang  dua garis berbeda. Sebut garis itu garis k dan g dengan titik sekutu P, andaikan ada titik sekutu lain yaitu Q maka:

P pada k dan Q pada k, demikian pula P pada g dan Q pada g. Berarti untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis.

Hal ini kontradiksi dengan aksioma ke-4. Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.

TEOREMA ke-2 Fano

                                      

                                     Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis

Bukti:

Menurut aksioma -1, terdapat minimal satu garis, garis itu kita sebut l.

Menurut aksioma -2, pada garis l ada tepat tiga titik, sebut titik A,B, dan C.

Menurut aksioma -3, tidak semua titik pada garis l, berarti ada minimal satu titik tidak pada l, sebut titik itu P. jadi ada minimal 4 titik, yaitu A,B,C,dan P.

Menurut aksioma -4: P dan setiap titik pada l menentukan garis – garis berbeda.

Menurut aksioma-2 garis – garis ini memuat 3 titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis  ( aksioma-4) maka tiga titik tadi pasti buka A,B,C, maupun P. jadi minimal ada 7 titik, A,B,C,P,Q,R, dan S.

Andaikan ada titik ke-8 yaitu K, maka P dan K menentukan garis h= garis PQ (aksioma-4).

Menurut aksioma -5, h dan l pasti berpotongan. Titik potong h dan l pasti bukan A,B, ataupun C, karena dua titik menentukan garis tunggal. Karena itu berarti l memuat 4 titik. Hal ini kontradiksi dengan aksioma -2. Jadi tidak mungkin ada titik kedelapan, sehingga ada tepat 7 titik.

1.2.GEOMETRI YOUNG

Semua istilah rimitive dan aksioma pada Geometri Young sama seperti pada Geometri Fano, kecuali Aksioma 5-nya yang berbeda. Aksioma 5 pada Geometri Young menyatakan untuk setiap garis l dan setiap titik P  yang tidak terletak pada garis l, terdapat tepat satu garis pada P yang tidak memuat setiap titik pada l.

Dari aksioma-aksioma pada Geometri Young dapat diturunkan teorema-teorema berikut ini.

TEOREMA Ke- 1 Young

Disetiap titik terdapat minimal empat garis

Bukti :

Menurut aksioma- 1 : ada minimal satu garis, sebut garis itu l.

Menurut aksioma -2 : ada tepat 3 titik pada setiap garis. Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A , B dan C.

Menurut aksioma- 3 : tidak semua titik segaris. Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.

Menurut aksioma- 4 : ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P.

Menurut aksioma- 5 : di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat titik pada l. Jadi ada minimal 4 garis di P.

 

TEOREMA Ke-2 Young :

Terdapat tepat 9 titik

Bukti :

Berdasarkan aksioma  1 dan 2 didapat ada minimal 3 titik pada garis l.

Sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada minimal satu titik yang tidak pada l, sebut titik itu P. Sehingga ada minimal 4 titik.

Akisioma –4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis. Berarti P dan titik-titik pada l menentukan garis , yaitu l₁dan l_2­ dan l_3­. Di setiap garis ini ada tepat satu garis , sehingga minimal ada 7 titik. Menurut teorema -1 : di P ada minimal 4 garis dan

menurut aksioma-5, l tidak memotong l. Sedangkan menurut aksioma -2 ; di l₄ ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.

Andai ada titik ke -10 yaitu Q

Menurut aksioma-4 : P dan Q menentukan  suatu garis .

Titik Q pasti  tidak ada pada l, karena kalau Q pada l berarti di l ada lebih dari 3 titk. Hal ini akan kontradiksi dengan akisoma-2. Sehingga di P ada lebih dari satu garis yang tidak memuat titik pada l. Kontradiksi dengan aksioma-5 

Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti ada tepat 9 titik.

TEOREMA KE-3 YOUNG

                                   
                     Terdapat tepat 12 garis

Bukti :

Menurut Teorema 2 ada tepat 9 titik. Sebut saja titik-titik nya A, B, C, D, E, F, G, H dan I.  menurut aksioma 2 ada tepat 3 titik berbeda pada setiap pada setiap garis.
jadi didapat:

A         A         A         B         B         B         C         C         D         D         G         H

B         D         E          E          D         F          F          E          E          H         H         F

C         G         I           H         I           G         I           G         F          C         I           A

l₁             l₂             l₃             l₄             l₅             l₆             l₇             l₈             l₉             l₁₀           l₁₁           l₁₂

2.      GEOMETRI INCIDENCE

            Pada uraian sebelumnya telah dibahas aplikasi metode aksiomatik dalam geometri untuk membuktikan beberapa geometri finite. Pada kenyataannya terdapat geometri yang mempunyai sejumlah titik dan garis yang tidak finite. Berikut ini akan dibahas suatu himpunanaksioma yang tidak secara ekspisit menyatakan sejumlah finite titk atau garis. Aksioma-aksiomanya digunakan untuk geometri finite dan geometri infnite.

            Sebagai undefined terms adalah titik, garis, pada.

Aksioma-aksioma dasar untuk geometri ini ada empat yaitu ;

Aksioma-1 : Setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis.

Aksioma-2 : Untuk setiap garis, minimal dua titik berbeda pada garis itu.

Aksioma-3 : terdapat minimal 3 titik berbeda.

Aksioma-4 : tidak semua titik segaris.

Suatu geometri yang memenuhi ke empat aksioma di atas disebut Geometri Incidence.

Contoh 1.3.3.1

Geometri empat titik adalah geometri Incidence. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Geometri Incidence                                                                           Geometri 4 titik

Aksioma-1………………………………………………………… Aksioma-2

Aksioma-2………………………………………………………… Aksioma-3

Aksioma-3……………………………………………………….....Aksioma-1

Aksioma-4……………………………………………………..…...Aksioma-1, Aksioma-2, Aksioma-3

Dapat dilihat bahwa Aksioma-aksioma Geometri Incidence semua dipenuhi oleh Aksioma- aksioma geometri 4 titik. Karena itu geometri 4 titikmerupakan geometri Incidence.

Contoh 1.3.3.2

Geometri Fano dan Young adalah geometri Incidence.

Contoh 1.3.3.3

Geometri  4 garis bukan geometri Incidence, karena aksioma-1 geometri Incidence tidak terpenuhi.

            Dari undefined terms dan Aksioma- aksioma diturunkan beberapa teorema berikut ini :

TEOREMA -1 Geometri Incidence

            Jika dua garis berbeda berpotongan maka perpotongannya pada tepat satu titik.

Bukti :

Misalkan garis itu 1 dan m

Jika 1 dan m berpotongan menurut definisi mereka berpotongan pada minimal satu titik, sebut P.

Andaikan 1 dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari garis. Kontradiksi dengan aksioma 1 incidence.

Terbukti 1 dan m berpotongan pada tepat satu titik.

TEOREMA -2 Geometri Incidence

            Untuk setiap titik terdapat minimal dua garis yang memuat titik itu.

Bukti :

Menurut aksioma 3     : terdapat minimal 3 titik berbeda

Menurut aksioma 4     : tak semua titik segaris

Berarti untuk setiap titik P terdapat minimal satu garis yang tidak memuat P.

Menurut aksioma 2       : setia garis memuat minimal 2 titik berbeda. Sehingga garis yang tak memuat P tadi minimal memuat 2 titik berbeda.

Menurut aksioma 1, P dan titik-titik pada garis tadi terdapat tepat 1 garis.

Jadi di setiap titik P ada minimal 2 garis.

TEOREMA -3 Geometri Incidence

            Terdapat tiga garis yang tidak bersekutu di satu titik.

Bukti : Menurut aksioma 3 dan 4 berarti ada 3 titik yang tidak segaris. Jadi minimal ada 3 garis (aksioma 1) dan garis-garis ini tidak bersekutu di satu titik.

Kesejajaran pada Geometri Incidence

Akisioma-aksioma incidence tidak secara eksplisit nyatakan keberadaan garis-garis sejajar. Nampak bahawa geometri fano adalah model geometri incidence yang tidak mempunyai garis-garis sejajar. Hal ini menunjukkan bahawa eksistensi garis-garis sejajar tidak dapat direduksi adari aksioma-aksiomanya. Geometri young adalah geometri incidence yang mempunyai garis-garis sejajar hal ini dapat dilihat (merupakan akibat) dari aksioma -5 nya.

Jika l suatu garis dan P semabarang titik tidak pada l , maka terdapat 3 kemungkinan alternatif unutk aksioma ke sejajaran yaitu :

• Tidak ada garis memlaui titik P sejajar dnegan l
• Ada atepat 1 garis melalui P sejajar l
• Ada lebih dari 1 garis melalui P sejajar l

Geometri incidence yang memenuhi alternatif ke-1 atau ke -3 disebut Geometri Non Euclid . Geometri incidence yang memenuhi alternatif ke-2  disebut  Geometri  Euclid .

DAFTAR PUSTAKA

Susanto, B. 1990. Geometry Transformasi. Yogyakarta: FMIPA-UGM.

Wallace, Edward C. 1002. Roads to Gemetry. NewYersey: Prentice Hall. Inc.

Sekiannnnnnnnnnnn ya weeeyy..
berhentii duyuu buat galau tak tertentu nya. hha :D (emang integral aja yg punya istilah tak tentu : -_-)
~conan, :)